ประโยชน์อันหนึ่ง Schur’s complements


ถ้าเรามีเงื่อนไขว่า

q^TA^{-1}q \leq 1

โดยที่ q^Tq =1 ถ้าเราอยากหาว่า q^TAq \leq ? จะทำอย่างไร มันกลับเศษเป็นส่วนแบบตัวเลขทั่วไปไม่ได้เพราะนี่มันเมตริกซ์  แต่เรารู้ว่า

-1 + q^TA^{-1}q \leq 0

และจาก Schur’s complements เราจะได้ว่า

\begin{bmatrix}-1 & q^T \\ q & -A\end{bmatrix} \leq 0

-A\leq 0, \qquad -A + qq^T \leq 0

คูณทางซ้ายด้วย q^T และคูณทางขวาด้วย q ของสมการล่างสุด จะได้

-q^TAq + 1 \leq 0

q^TAq \geq 1

งดงามดีแท้

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s