Laplace Transform กับดัก


Laplace Transform เป็นผลงานของ Pierre-Simon
Laplace (1749-1827) (น่าแปลกที่ z Transform พึ่งมี
อายุได้แค่ 50 ปีเท่านั้นเอง)

Laplace Transform มีสูตรง่าย ๆ ดังนี้
X(s) = \mathcal{L}[x(t)] \triangleq \displaystyle{\int^\infty_{-\infty}x(t)e^{-st} dt}
ในระบบทั่วไปเราจะถือว่าเวลา t<0 นั้น x(0^-) = 0 ดังนั้นเราจะใช้ Laplace Transform แค่ข้างเดียว คือเริ่มต้นจาก 0

วันนี้ที่ภาควิชาได้อ่านเอกสารวิชาการด้วยกัน และมีความตอนหนึ่งว่า

Let z denote a positive zero of the asymptotically stable transfer function G . The Laplace transform Y(s) of the output y(t) for a unit step input is given by Y(s) = G(s) \displaystyle{\frac{1}{s}} Setting s=z yields Y(s) = G(z)(1/z) . Since G(z) = 0 , it follows that Y(z) = 0 , and thus \displaystyle{\int^\infty_0 e^{-zt}y(t)dt = 0}

เพื่อนก็ตั้งคำถามว่า แล้วกรณีที่ z เป็นค่าลบหล่ะ ข้อความที่ว่าไม่เป็นจริง
หรือเพราะมันก็ทำให้ Y(s)=0 เหมือนกัน กว่าพวกเราจะหาคำตอบนี้ได้เล่น
เอาเหงื่อตก สุดท้ายโปรฯ คนเก่งก็หาคำตอบได้

ที่มาของปัญหาคือเรื่องของ region of convergence (ROC) โดยกรณีที่สำคัญและ
ไม่ได้ตระหนักถึงในตอนแรกสำหรับปัญหาข้างต้นคือ \mathcal{L}[u(t)] = \displaystyle{\frac{1}{s}} เมื่อ u(t) คือ unit-step function ซึ่งในกรณีนี้ Laplace Transform ของ u(t) จะมีได้ก็ต่อเมื่อ Re[s] > 0 ลองดูตัวอย่าง

G(s) = \displaystyle{\frac{s-1}{s(s+5)}}

กรณีนี้ไม่มีปัญหาเพราะ ในกรณีที่ s=z นั้น Re[s] > 0 (positive zero) แต่กรณีนี้

G(s) = \displaystyle{\frac{s+1}{s(s+5)}}

เมื่อ s=z (negative zero) นั้น G(s=z) ไม่นิยามเพราะ z ไม่ได้อยู่ใน ROC โดเมนเวลา y(t) = \left(\displaystyle{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}e^{-5t}}\right)u(t)

แต่อย่างพึ่งดีใจเพราะถ้า G(s=z) ไม่นิยามแล้ว เราจะเรียกมันว่า zero หรือ
แม้กระทั้ง pole ได้อย่างไร สรุปในตอนนี้เราไม่ควรใช้ ROC ในทุก ๆ กรณี เพราะไม่
เช่นนั้น pole และ zero เราหายหมด

ย่อหน้าข้างบนนั้นเป็นความเข้าใจที่ผิด เพราะ pole และ zero นั้นนิยามสำหรับ
โพลิโนเมียลทั่วไป ไม่ได้นิยามหลังจากแปลงลาปลาซแล้ว พูดง่าย ๆ คือ pole และ zero
นั้นมีได้ ถึงแม้ว่าจะแปลงลาปลาซไม่ได้ ดังนั้นที่อาจารย์เข้าใจก็ถูกแล้วครับผม

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s